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Hubbard 模型(三):费米 Hubbard 模型:简单

归属:消费指南 日期: 2020-06-07 作者: 热度: 290℃ 888喜欢
Hubbard 模型(三):费米 Hubbard 模型:简单

Figure1. (photo credit: 作者自绘) 由于不相容原理,当系统没有跃迁能力的时候,费米 Hubbard 模型最低能量的组合便是尽可能地让每个粒子都佔有一个晶格点。

经历了前面两篇暖身,有忍住读完的读者们应该稍微对 Hubbard 模型有了基本的了解。本文中我们继续考虑类似的模型,但在这里我们把粒子们换成费米子。

费米子与玻色子的根本差异在于前者遵守庖立不相容原理(Pauli Exclusion Principle),一个系统内不会有两个具有一模一样量子数的费米子,这也将大大的影响我们对基态物质相的分析。举个实际例子,如果我们考虑不带自旋的费米子,则两个粒子出现在同一个节点上不仅仅是会增加能量这幺简单,而是根本不允许发生。在接下来的讨论中,为了更切合电子的特性,我们将考虑自旋 \(\frac{1}{2}\) 的费米子,儘管结构简单,但(1)这种 Hubbard 模型的基态被认为跟高温超导体具有一样的相图(phase diagram); (2)数学上几乎是不可能完全的解开的。

基于它的困难与蕴藏的丰富物理,它几乎是固态物理中最重要的模型之一。

由于题材的浩大与他在近代固态物理中的重要性,笔者又将费米 Hubbard 模型细分,在本文中首先讨论一些简单但精确的数学结果,之后我们还将从临界现象(critical phenomenon)、量子相变化(quantum phase transition)的角度切入,之后独立地回顾一下近年在实验上的进展。

我们分析的逻辑跟前文还是很接近的:这个模型基本上是两种能量尺度在对抗,一个是粒子在晶格上跳跃的能力 \(t\),另一个是粒子间交互作用的强度 \(U\)。我们首先分别分析其中一个效应佔优势的极限,并尝试去推测当两者旗鼓相当时,系统的基态该是什幺样子。

(1) U=0 

在这个极限中,费米子们基本上看不见对方。(这个陈述其实不是很精确,因为事实上,任意一个费米子总是看得到它的同类们,不然它们无法遵守不相容原理。)多体问题在数学上等效变成了很多个单体问题,也因此我们可以计算出能阶,接下来的任务就是把很多粒子放进去这个能阶。和玻色子问题的相异处就在这里显现出来了,在这里我们无法放任所有人都佔据最低的单粒子态,假设自旋上下的化学势被调整得一样,使得我们各有 \(N\) 个自旋朝上跟朝下的费米子,则基态中会费米子们会一路填满最低的 \(N\) 个能阶,形成一个费米海(Fermi sea)。

(2)t=0

在这个极限中,费米子基本上没有移动的能力,基态问题变成要妥善的分配费米子们的位置,使得能量可以儘量地低。因为相斥的交互作用 \(U\),使得自旋上的费米子不喜欢与自旋下的费米子处在同一个节点,而因为不相容原理,相同自旋的费米子甚至不能出现在同一个节点。假设我们考虑总粒子数少于总节点数的特殊状况,那幺我们可以选择让每个节点至多只被一个费米子佔据,这些状态都具有基态能量 \(E=0\times U=0\)。与之前的无自旋玻色子不同的是,在这边我们有两种费米子,因此基态的选择不是唯一的,而有很多简併态,另外,这样子的基态是个顺磁性系统。

Hubbard 模型(三):费米 Hubbard 模型:简单

Figure2. 在没有交互作用的状况下,费米 Hubbard 模型的能量形成一个能带,由于不相容原理,他们没办法全部聚集在最低态,而是会一路形成一个费米海。(photo credit: 作者自绘)

从上面的分析,我们了解到:如果粒子的数目跟节点的个数一样多(通常我们称这种状态叫做半填满(Half-filled))时,只拥有跃迁的系统,跟只有交互作用位能的系统,他们的基态都没有什幺有趣的磁性(或说他们顶多是顺磁性。)接下来我们将推论,当两者同时存在的时候,系统的基态可以具有反铁磁性。

要理解这个问题如何产生反铁磁性,我们考虑 \(\frac{U}{t}\gg 1\),但是 \(t\ne 0\) 的情况。在有限的跃迁常数底下,一开始给定的基态有机会穿隧到不一样的状态。代数上,我们要计算的是,当原本的物理状态被动能项作用之后,和原先的状态重合度还有多大。

这其实可以用一个只有两个节点的模型来看。由于我们考虑半填满,那在两个节点上,被允许的组态就只有(1)两个自旋同向的粒子,(2)两个自旋反向的粒子。接着让我们分别讨论它们。

(1):在 \(t=0\) 的状况中,系统的基态是两个粒子分别被放在不同的节点上。很快读者可以理解到,当你把打开小小的 t, 事情根本没有任何改变,因为庖立不相容原理,这个状态中的费米子本来就没有能力跳到另外一个节点上。

(2):在 \(t=0\) 的状况,系统的基态依旧是两者被分配在不同的节点上,动能项的作用可以将两个粒子透过一次跃迁放到同一个节点上,这被庖立不相容原理允许,但要付出能量 \(U\) 的代价。但这个状态跟原本的基态是没有重叠的,因此只作用一次动能项对于基态的能量并没有影响。有趣的物理发生在第二次跃迁的时候,这时系统可以回到原本的组态,因而跟原状态产生有限的重合,更重要的是,这样的过程可以稍稍降低系统的能量,大小为 \(\frac{t^2}{U}\)。

让我们梳理一下结论,在 \(t=0\) 的极限中,(1)跟(2)本来是有一样能量的(都是 0),但在打开小小的 \(t\) 之后,我们发现(1)不为所动,但(2)可以藉由二阶段的跃迁过程降低能量,因此在有限的 \(t\) 作用下,系统会偏好两个粒子具有不同方向的自旋,这就是一种产生反铁磁性的机制。

两个节点的分析,虽然有办法说明为什幺系统可能会偏好某些自旋组态,却没办法决定一个大系统的总磁化程度。事实上根据完整晶格允许的分割方式,半填满的费米 Hubbard 模型除了有反铁磁相,也可能具有亚铁磁性。

我们计画下一篇文章中讨论 Hubbard 模型可以透过什幺机制获得亚铁磁或者铁磁性。

Hubbard 模型(三):费米 Hubbard 模型:简单

Figure3. 本图中我们呈现在在有限的跃迁常数下,半填满的 Hubbard 模型可藉由图中所示的过程来降低基态能量。(Photo credit: 作者自绘)

连结:

Hubbard 模型(ㄧ):动机与定义Hubbard 模型(二):玻色 Hubbard 模型Hubbard 模型(三):费米 Hubbard 模型:简单的解析事实(上)Hubbard 模型(四):费米 Hubbard 模型:简单的解析事实(下)Hubbard 模型(五):自旋液体与价键固体

 参考资料: